考研数学23题解析
- 题目回顾
本题考查了极限的计算和函数的连续性。题目要求计算以下极限：
[ lim_{x to 0} frac{sin x - x}{x^3} ]
- 解题步骤
步骤一：等价无穷小替换
我们知道当 ( x to 0 ) 时，(sin x) 与 ( x ) 是等价无穷小，即 (sin x sim x)。我们可以将原极限中的 (sin x) 替换为 ( x )。
[ lim{x to 0} frac{sin x - x}{x^3} lim{x to 0} frac{x - x}{x^3} ]
步骤二：化简
接下来，我们将分子进行化简：
[ lim{x to 0} frac{x - x}{x^3} lim{x to 0} frac{0}{x^3} ]
步骤三：求解
由于分子为0，而分母趋向于0，因此我们需要使用洛必达法则来求解。对分子和分母同时求导：
[ lim{x to 0} frac{0}{x^3} lim{x to 0} frac{0}{3x^2} 0 ]
原极限的值为0。
- 本题通过等价无穷小替换和洛必达法则，成功地计算了一个看似复杂的极限问题。在解题过程中，我们不仅要熟练掌握极限的计算方法，还要注意对函数连续性的理解和应用。
相关问答
- 问：本题考查了哪些知识点？
答： 本题考查了极限的计算和函数的连续性。
- 问：等价无穷小替换的原理是什么？
答： 当 ( x to 0 ) 时，如果两个函数的比值趋向于1，则称这两个函数是等价无穷小。
- 问：洛必达法则的适用条件是什么？
答： 洛必达法则适用于“0/0”型或“∞/∞”型的未定式。
- 问：如何判断一个函数在一点处是否连续？
答： 如果一个函数在某一点处的极限存在且等于该点处的函数值，则称该函数在该点处连续。
- 问：在计算极限时，是否可以随意替换函数？
答： 不可以。在计算极限时，需要根据具体的题目要求和函数性质进行合理的替换。
- 问：如何提高计算极限的能力？
答： 多做练习题，熟悉各种极限的计算方法和技巧。
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